Moving Average White Noise

Die Spektren verschiedener Umwandlungen von Weißrauschen Die Spektralanalyse ist die Zerlegung einer Funktion in ihre zyklischen Komponenten. Sie wird unter Verwendung der Fourier-Transformation durchgeführt. Die Fourier-Transformation der Funktion y (t) ist definiert als: F y (omega) int minusinfin infin exp (minus i omegat) y (t) dt Die Fourier-Transformation ist im allgemeinen eine komplexe Funktion. Das Spektrum einer Funktion ist einfach der absolute Wert ihrer Fourier-Transformation. Das Spektrum des weißen Rauschens ist über ein breites Frequenzband konstant. Dies ist in Analogie mit weißem Licht, das Licht in allen Farben über dem Frequenzband des sichtbaren Lichts enthält. Manchmal wird weißes Rauschen genommen, um sich über einen unendlichen Bereich zu erstrecken, aber dies wäre unmöglich, physisch zu realisieren, weil solches Rauschen unendlich enegy haben würde. Wenn das Frequenzband zu eng ist, würde das Rauschen von einer bestimmten Farbe sein. Daher ist weißes Rauschen so definiert, daß sein Spektrum F (omega) c für omega min le omega le omega max 0 sonst ist. Die kumulative Summe aus weißem Rauschen Die kumulative Summe wird als das Integral des weißen Rauschens definiert. Wenn u (t) weißes Rauschen ist, dann gilt y (t) int 0 tu (s) ds und äquivalent dy / dt u (t) As-Zustand vorher ist das Spektrum die Größe der Fourier-Transformierten der Variablen und daher Fy (Omega) F u (omega) / (iomega) F u (omega) / omega Die Variable y wird als rosa Rauschen bezeichnet. Es wäre jede Variable, deren Spektrum die Form F (omega) c / omega für omega min le omega le omega max 0 sonst ist. Das Spektrum des beweglichen Mittels einer Variablen Die allgemeine Form eines gleitenden Mittelwerts einer Variablen y (t ) Ist y (t) int 0Hh (s) y (ts) ds wobei h (s) für 0 le s le H eine Gewichtungsfunktion ist. Die obere Grenze H könnte endlich oder unendlich sein. Beachten Sie, dass der gleitende Durchschnitt einer Variablen mit einem Unterstrich dieser Variablen bezeichnet wird. Die Fourier-Transformation von y (t) ist F y (omega) int minusinfin infin exp (minusiomegat) y (t) dt int minusinfin infin exp (minusiomegat) (int 0 H h (s) y (ts)) dsdt Die Umkehrung von (Minusiomegat) y (ts) dtds Wenn die Integrationsvariable in int minusinfin infin exp (minusiomegat) y (ts) dt geändert wird Zt-s dann tzs und dtdz, so daß das Integral int minusinfin infin exp (minusiomega (zs)) y (z) dz wird, das zu exp (minusiomegas) int minusinfin infin exp (minusiomegaz) y (z) dz und schließlich zu exp Minusiomegas) F y (omega) Dies ist ein Standardtheorem für Fourier-Transformationen, das besagt, dass F y (ts) exp (Minusiomegas) F y F y (omega) int 0 H h (s) exp (Minusiomegas) F y (Omegads, (S) exp (minusiomegas) ds Wenn h (s) über das Intervall minusinfin, infin, so ausgedehnt wird, daß h (s) 0 für slt0 und sgeH dann die zweite ist (Omega) F y (omega) middotF h (omega) Für einen einfachen gleitenden Durchschnitt h (s) 1 / H und (1 (Minusiomega) / (minusiomega) minus 1 / H) exp (minusiHomega) minus 1 / (iomega), die durch Ausklammerung eines Ausdrucks exp ( MinusiomegaH / 2) exp (minusiomegaH / 2) exp (iomegaH / 2) minus exp (minusiomegaH / 2) / (2iomegaH / 2) sin (omegaH / 2) / (omegaH / 2) ) Exp (minusiomegaH / 2) sinc (omegaH / 2) Durch Markieren der t-Variablen des gleitenden Mittelwerts mit dem Mittelpunkt des H-Intervalls kann der Term exp (minusiomegaH / 2) eliminiert werden, wobei Fy (omega) Fy (omega ) Sinc (frac12omegaH) Da das Spektrum der Absolutwert der Fourier-Transformation ist, ist die relevante Funktion sinc (x) Die sinc-Funktion erzeugt Peaks im Spektrum des gleitenden Durchschnitts, die in den ursprünglichen Daten nicht vorhanden waren. Sampling und Intervalizing Samping in der Spektralanalyse bedeutet in der Regel den Wert einer Variablen in diskreten Intervallen. Eine verwandte Prozedur besteht darin, die momentanen Werte innerhalb eines Intervalls durch die Abtastwerte zu ersetzen, d. h. für ti minusfrac12Hletlet i frac12H y (t) durch y (ti) ersetzen. Die Fourier-Transformation der intervallierten Funktion hängt mit der Fourier-Transformation der abgetasteten Funktion durch Multiplikation um einen Faktor der Form int minusframe12H frac12H exp (minusiomegat) dt zusammen, der zu sinc reduziert (frac12omegaH) Da die Intervallierungsprozedur auf den gleitenden Durchschnitt angewendet wird Der ursprünglichen Variablen ist die Fourier-Transformation für die intervallierte gleitende Mittelfunktion z (t) gegeben durch F z (omega) F y sincsup2 (frac12omegaH) Das sincsup2 (x) hat die folgende Form: Omega) c / omega, das Spektrum für Intervall-durchschnittliche Funktion steigt auf einen Peak und dann sinkt. Somit dominieren die niederfrequenten Komponenten den Intervall-Durchschnitt sogar noch mehr als für die kumulative Summe. Ein bewegter Durchschnitt der Jahresdurchschnitte Jede Manipulation oder Transformation von Daten, die die kumulativen Summen der zufälligen Störung sind, können Elemente der stochastischen Struktur einführen, die eigenartig und nicht intuitiv und potentiell gefährlich für eine objektive statistische Analyse sind. Angenommen, die Jahresdurchschnitte werden für Variablen berechnet, die die kumulativen Summen von zufälligen Störungen sind, und dann werden die Jahresdurchschnitte über einen Zeitraum von fünf Jahren gemittelt. In dem Diagramm unten zeigt das obere Diagramm die Gewichte, die auf die Änderungsraten gelegt werden. Jährliche Mittelung legt ein relativ hohes Gewicht auf Veränderungen, die zu Beginn des Jahres und ein geringes Gewicht auf Veränderungen, die auftreten, am Ende des Jahres auftreten. Werden die Werte über einen Zeitraum von fünf Jahren gemittelt, erhalten die Veränderungen, die zu Beginn des Fünfjahreszeitraums stattfinden, eine deutlich höhere Rate als jene, die am Ende des Fünfjahreszeitraums auftreten. Der Fünfjahresdurchschnitt wird typischerweise mit dem dritten Jahr identifiziert, während er stärker mit den Veränderungen im ersten Jahr in Verbindung steht. Dies würde die Analyse von Zeitverzögerungen zwischen Variablen verwechseln. Illustrationen Das folgende ist der vierperiodische gleitende Durchschnitt eines vierperiodischen gleitenden Durchschnitts der Zufallsvariablen, die gleichmäßig zwischen 0 und 1,0 verteilt sind. Um zu veranschaulichen, wie diese doppelte Glättung das Auftreten von Zyklen erzeugt, ist ein sinusförmiger Zyklus um einen Pegel von 0,5 in demselben Graphen aufgetragen. Autokorrelation Eine physikalisch messbare Größe, wie die Temperatur eines Objekts, kann die kumulative Summe einer stochastischen Variablen sein. Bei der Temperatur eines Objektes ist die stochastische Größe proportional zur Nettowärmezufuhr zum Objekt. Diese Variable kann jedoch Autokorrelation unterliegen, d. h. eine Abhängigkeit ihrer Verteilung von ihren früheren Werten. Beispielsweise kann die Temperatur T (t) eines Körpers zur Zeit t durch T (t) T (t - 1) U (t) gegeben werden, wobei U (t) lambdaU (t - 1) V (t) Variablen V (t) sind unabhängige Zufallsvariablen. Die Variable U (t) ergibt sich aus der Formel U (t) V (t) lambdaV (t-1) lambdasup2V (t-2) hellip oder allgemein U (t) Sigma j0 t lambda j V (tj) Dies ist eine exponentiell gewichtete Summe, eine Art von Glättungsoperation. Da die Temperatur die kumulative Summe der U (t) s, ein weiterer Glättungsvorgang ist, ist die Temperatur eine doppelt geglättete Größe. Wie im Fall eines gleitenden Mittelwerts eines gleitenden Mittelwertes erzeugt die doppelte Glättung das Auftreten von Zyklen, selbst wenn die ursprüngliche Variable V (t) s zufälliges weißes Rauschen ist. Wenn die Temperaturen einer Mittelung unterworfen werden, kann das Ergebnis zu einem dreifach geglätteten weißen Rauschen führen, das noch stärker der Erzeugung von falschen Trends und Zyklen ausgesetzt wäre. (Fortsetzung folgt) Differentiation und Differentiation von Moving Averages Es sei z (t) eine Variable und F z (omega) sei ihre Fourier-Transformation. Ist z (t) ein gleitender Durchschnitt der kumulativen Summe von weißem Rauschen, so ist seine Fourier-Transformation von der Form F z (omega) (z / Omega) sinc (frac12omegaH) Fy (omega) csinc (frac12omegaH) Die Ableitung eines gleitenden Mittelwerts der kumulativen Summe von weißem Rauschen hat ein Spektrum, das die Zyklen anzeigt, aber das Spektrum stammt aus dem gleitenden Durchschnittsprozess und nicht aus den ursprünglichen Daten . Allgemeiner ist die Fourier-Transformation eines gewichteten gleitenden Mittelwerts einer Variablen v (t) auf der Basis einer Gewichtungsfunktion h (s) von der Form F z (omega) F s (omega) F h (omega) Wenn s (t) Ist die kumulative Summe von weißem Rauschen dann F s (Omega) c / omega über einen Bereich von Omega. Somit ist die Fourier-Transformation von y (t), die die Ableitung des gewichteten gleitenden Mittelwerts ist, F y (omega) omega (c / omega) F h (omega) cF h (omega) Also ist das Spektrum der Ableitung eines sich bewegenden Durchschnitt des weißen Rauschs ist nur das Spektrum des Mittelungsprozesses. Dies bedeutet, dass, wenn Zyklen in der Überprüfung der verarbeiteten Versionen der gleitenden Durchschnitte gefunden werden, sie nur ein Artefakt der Mittelung und Verarbeitung Verfahren sein kann. Die Differenzierung der gleitenden Mittelwerte würde häufiger auftreten als die Differenzierung. Das Ergebnis ist ähnlich. Es sei y (t) z (t) minusz (t-H) / H. Die Fourier-Transformation von y (t) ist dann F y (omega) (1 / H) (1-e - omegaH) F z (omega) Da (1-e - omegaH) omegaH minus (omegaH) sup2 / 2 hellip F Somit wird eine Fourier-Transformation der kumulativen Summe von weißem Rauschen mit einem Faktor multipliziert, der ein Vielfaches von Omega ist, und der Effekt ist, das Omega im Nenner aufzuheben Der Fourier-Transformation der kumulativen Summe von weißem Rauschen, die annähernd die Fourier-Transformation der Mittelungsverfahren, dh F y (omega) (omega minusomegasup2H / 2 hellip) (c / omega) Fh (omega) (1 minus omegaH / Hellip) cF h (omega), die für kleine Werte von omegaH auf F y (omega) reduziert cF h (omega) STARTSEITE der Applet-Magie STARTSEITE von Thayer Watkins8.4 Bewegliche Durchschnittsmodelle Anstatt Vergangenheitswerte der Prognosemodelle zu verwenden In einer Regression verwendet ein gleitendes Durchschnittsmodell vergangene Prognosefehler in einem regressionsähnlichen Modell. Y c et the theta e dots theta e, wobei et weißes Rauschen ist. Wir bezeichnen dies als MA (q) - Modell. Natürlich beobachten wir nicht die Werte von et, also ist es nicht wirklich Regression im üblichen Sinne. Man beachte, daß jeder Wert von yt als gewichteter gleitender Durchschnitt der letzten Prognosefehler betrachtet werden kann. Jedoch sollten gleitende Durchschnittsmodelle nicht mit der gleitenden glatten Glättung verwechselt werden, die wir in Kapitel 6 besprochen haben. Ein gleitendes Durchschnittsmodell wird für die Prognose zukünftiger Werte verwendet, während die gleitende gleitende Durchschnittskurve für die Abschätzung des Trendzyklus der vergangenen Werte verwendet wird. Abbildung 8.6: Zwei Beispiele für Daten aus gleitenden Durchschnittsmodellen mit unterschiedlichen Parametern. Links: MA (1) mit yt 20e t 0,8e t-1. Rechts: MA (2) mit y t e t - e t-1 0,8e t-2. In beiden Fällen ist e t normal verteiltes Weißrauschen mit Mittelwert Null und Varianz Eins. Abbildung 8.6 zeigt einige Daten aus einem MA (1) - Modell und einem MA (2) - Modell. Das Ändern der Parameter theta1, dots, thetaq führt zu unterschiedlichen Zeitreihenmustern. Wie bei autoregressiven Modellen wird die Varianz des Fehlerterms et nur den Maßstab der Reihe ändern, nicht die Muster. Es ist möglich, jedes stationäre AR (p) - Modell als MA (infty) - Modell zu schreiben. Beispielsweise können wir dies bei einem AR (1) - Modell demonstrieren: begin yt amp phi1y et amp phi1 (phi1y e) et amp phi12y phi1 e et amp phi13y phi12e phi1 e et amptext end Vorausgesetzt -1 lt phi1 lt 1 wird der Wert von phi1k kleiner, wenn k größer wird. So erhalten wir schließlich yt und phi1 e phi12 e phi13 e cdots, ein MA (infty) Prozess. Das umgekehrte Ergebnis gilt, wenn wir den MA-Parametern einige Einschränkungen auferlegen. Dann wird das MA-Modell invertierbar. Das heißt, dass wir alle invertierbaren MA (q) Prozess als AR (infty) Prozess schreiben können. Invertible Modelle sind nicht einfach, damit wir von MA-Modellen auf AR-Modelle umwandeln können. Sie haben auch einige mathematische Eigenschaften, die sie in der Praxis einfacher zu verwenden. Die Invertibilitätsbedingungen sind den stationären Einschränkungen ähnlich. Für ein MA (1) Modell: -1lttheta1lt1. Für ein MA (2) - Modell: -1lttheta2lt1, theta2theta1 gt-1, theta1 - theta2 lt 1. Kompliziertere Bedingungen gelten für qge3. Wiederum wird R kümmern sich diese Einschränkungen bei der Schätzung der Modelle. Der Wissenschaftler und Ingenieure Leitfaden für digitale Signalverarbeitung Von Steven W. Smith, Ph. D. Kapitel 15: Verschieben von Durchschnittsfiltern Rauschreduzierung und Schrittreaktion Viele Wissenschaftler und Ingenieure fühlen sich schuldig, wenn Sie den gleitenden Mittelfilter verwenden. Weil es so einfach ist, ist der gleitende Durchschnitt Filter oft das erste, was versucht, wenn mit einem Problem konfrontiert. Auch wenn das Problem vollständig gelöst ist, gibt es immer noch das Gefühl, dass etwas mehr getan werden sollte. Diese Situation ist wirklich ironisch. Nicht nur ist der gleitende mittlere Filter sehr gut für viele Anwendungen, er ist optimal für ein gemeinsames Problem, wodurch zufälliges weißes Rauschen unter Beibehaltung der schärfsten Sprungantwort. Abbildung 15-1 zeigt ein Beispiel dafür, wie dies funktioniert. Das Signal in (a) ist ein in zufälligem Rauschen vergrabener Impuls. In (b) und (c) verringert die Glättungswirkung des gleitenden Durchschnittsfilters die Amplitude des zufälligen Rauschens (gut), verringert aber auch die Schärfe der Kanten (schlecht). Von allen möglichen linearen Filtern, die verwendet werden könnten, erzeugt der gleitende Durchschnitt das niedrigste Rauschen für eine gegebene Flankenschärfe. Der Betrag der Rauschunterdrückung ist gleich der Quadratwurzel der Anzahl der Punkte im Durchschnitt. Zum Beispiel verringert ein 100-Punkte-gleitender Durchschnittsfilter das Rauschen um den Faktor 10. Um zu verstehen, warum der gleitende Durchschnitt die beste Lösung ist, stellen wir uns vor, wir wollen einen Filter mit fester Kantenschärfe entwerfen. Nehmen wir zum Beispiel an, dass wir die Kantenschärfe festlegen, indem wir angeben, dass es elf Punkte im Anstieg der Sprungantwort gibt. Dies erfordert, dass der Filterkern elf Punkte hat. Die Optimierungsfrage lautet: Wie wählen wir die elf Werte im Filterkernel aus, um das Rauschen am Ausgangssignal zu minimieren Da das Rauschen, das wir reduzieren wollen, zufällig ist, ist keiner der Eingangspunkte etwas Besonderes, jeder ist genauso laut wie sein Nachbar . Daher ist es nutzlos, irgendeinem der Eingangspunkte eine bevorzugte Behandlung zu geben, indem ihm ein größerer Koeffizient im Filterkern zugewiesen wird. Das niedrigste Rauschen wird erhalten, wenn alle Eingangsabtastwerte gleich behandelt werden, d. h. das gleitende Mittelfilter. (Später in diesem Kapitel zeigen wir, dass andere Filter im Wesentlichen so gut sind. Der Punkt ist, kein Filter ist besser als der einfache gleitende Durchschnitt).